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Para determinar si el gerente exagera el porcentaje de neumáticos defectuosos, podemos plantear un contraste de hipótesis y realizar una prueba de proporciones.
**Paso 1: Formulación de hipótesis:**
- Hipótesis nula (\(H_0\)): El porcentaje real de neumáticos defectuosos es igual al 12%.
\[ H_0: p = 0.12 \]
- Hipótesis alternativa (\(H_1\)): El porcentaje real de neumáticos defectuosos es menor que 12%.
\[ H_1: p < 0.12 \]
**Paso 2: Nivel de significancia y tipo de prueba:**
El nivel de significancia (\(\alpha\)) es 0.05, lo que significa que estamos dispuestos a cometer un error tipo I del 5%.
Dado que queremos determinar si el porcentaje es menor que 12%, utilizaremos una prueba de una cola (cola izquierda) para la proporción poblacional.
**Paso 3: Estadístico de prueba:**
Para una proporción, el estadístico de prueba bajo la hipótesis nula sigue una distribución normal estándar aproximadamente cuando el tamaño de muestra es suficientemente grande (n ≥ 30) y la proporción de interés no está cerca de 0 o 1.
El estadístico de prueba \( z \) se calcula como:
\[ z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 (1 - p_0)}{n}}} \]
Donde:
- \( \hat{p} \) es la proporción muestral.
- \( p_0 \) es el valor bajo la hipótesis nula.
- \( n \) es el tamaño de la muestra.
**Paso 4: Cálculo del estadístico de prueba:**
Dado que en la muestra de 60 neumáticos, 6 no cumplieron las normas de calidad, la proporción muestral \( \hat{p} \) es:
\[ \hat{p} = \frac{6}{60} = 0.1 \]
Sustituyendo los valores:
\[ z = \frac{0.1 - 0.12}{\sqrt{\frac{0.12 \cdot 0.88}{60}}} \]
\[ z = \frac{-0.02}{\sqrt{0.0016}} \]
\[ z \approx \frac{-0.02}{0.04} \]
\[ z = -0.5 \]
**Paso 5: Decisión:**
Para un nivel de significancia de 0.05, el valor crítico \( z \) correspondiente (en una prueba de una cola a la izquierda) es aproximadamente -1.645.
Como \( z = -0.5 \) no es menor que \( -1.645 \), no rechazamos la hipótesis nula \( H_0 \).
**Conclusión:**
No hay suficiente evidencia para concluir que el porcentaje real de neumáticos defectuosos es menor que el 12% afirmado por el gerente. Por lo tanto, no podemos decir que el gerente esté exagerando el porcentaje de neumáticos defectuosos al nivel de significancia del 5%.