Explicación paso a paso:
Para determinar el valor de a+b de manera que el polinomio p(x) = x/3 + ax + b sea divisible por (x + 1)/2, podemos utilizar el teorema del residuo.
El teorema del residuo establece que si un polinomio p(x) es divisible por otro polinomio q(x), entonces el residuo de la división de p(x) por q(x) al evaluar x en el valor -c, donde c es una raíz de q(x), es igual a cero.
En este caso, queremos que p(x) sea divisible por (x + 1)/2, lo que significa que queremos que el residuo de la división de p(x) por (x + 1)/2 al evaluar x en -1 sea igual a cero.
Aplicando el teorema del residuo, tenemos:
p(-1) = 0
Sustituyendo p(x) por su expresión original, obtenemos:
(-1)/3 - a + b = 0
Simplificando, tenemos:
-a + b = 1/3
Para determinar el valor de a + b, necesitamos encontrar los valores de a y b que satisfagan esta ecuación. Una forma de hacerlo es mediante el método de sustitución.
Supongamos que a = k. Sustituyendo este valor en la ecuación, obtenemos:
-k + b = 1/3
Despejando b, tenemos:
b = k + 1/3
Ahora podemos sustituir esta expresión de b en la ecuación original:
-a + (k + 1/3) = 1/3
Simplificando, tenemos:
-a + k = 0
Sustituyendo k = a, tenemos:
-a + a = 0
Simplificando, tenemos:
0 = 0
Esta ecuación siempre es verdadera, lo que significa que cualquier valor de a satisface la condición de que p(x) sea divisible por (x + 1)/2.
Por lo tanto, el valor de a + b es igual a:
a + b = a + (k + 1/3) = 2a + 1/3
Como a es un valor arbitrario, podemos elegir a = 0 para obtener el valor más simple de a + b. En este caso, tenemos:
a + b = 2(0) + 1/3 = 1/3
Conclusión:
El valor de a + b de manera que el polinomio p(x) = x/3 + ax + b sea divisible por (x + 1)/2 es 1/3.
