Respuesta :
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Para determinar la altura máxima alcanzada por la flecha y el tiempo que tarda en alcanzarla, utilizaremos la función cuadrática dada:
\[ f(x) = -14x^2 + 56x + 50 \]
Esta función representa la altura \( f(x) \) en centímetros alcanzada por la flecha después de \( x \) segundos.
**a) Tiempo en alcanzar la altura máxima:**
La función \( f(x) \) es una parábola que abre hacia abajo (coeficiente de \( x^2 \) negativo), por lo tanto, la altura máxima corresponde al vértice de la parábola.
El tiempo \( x \) para alcanzar el vértice de una parábola dada por \( ax^2 + bx + c \) está dado por la fórmula:
\[ x = -\frac{b}{2a} \]
En nuestro caso, \( a = -14 \) y \( b = 56 \):
\[ x = -\frac{56}{2 \cdot (-14)} \]
\[ x = -\frac{56}{-28} \]
\[ x = 2 \]
Por lo tanto, la flecha tarda \( \boxed{2 \text{ segundos}} \) en alcanzar su altura máxima.
**b) Altura máxima alcanzada:**
Para encontrar la altura máxima, evaluamos la función \( f(x) \) en \( x = 2 \):
\[ f(2) = -14(2)^2 + 56 \cdot 2 + 50 \]
\[ f(2) = -14 \cdot 4 + 112 + 50 \]
\[ f(2) = -56 + 112 + 50 \]
\[ f(2) = 106 \]
Por lo tanto, la altura máxima alcanzada por la flecha es \( \boxed{106 \text{ centímetros}} \).