Respuesta:
Claro, vamos a resolver el problema en español.
Para encontrar las constantes \( a \) y \( b \) en la función por partes \( f(x) \), necesitamos asegurar la continuidad y diferenciabilidad en los
\[ f(x) = \begin{cases}
\sin(2x^2 - 1) & \text{si } x \leq 1 \\
ax - b & \text{si } 1 < x < 2 \\
4 - x & \text{si } x \geq 2
\end{cases} \]
### Paso 1: Continuidad en \( x = 1 \)
Para la continuidad en \( x = 1 \):
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \]
- Desde la izquierda (\( x \leq 1 \)):
\[ \lim_{x \to 1^-} \sin(2x^2 - 1) = \sin(2 \cdot 1^2 - 1) = \sin(1) \]
- Desde la derecha (\( 1 < x < 2 \)):
\[ \lim_{x \to 1^+} (ax - b) = a \cdot 1 - b = a - b \]
Igualamos estos límites para garantizar la continuidad:
\[ \sin(1) = a - b \]
\[ a = \sin(1) + b \] \(\quad\) (Ecuación 1)
### Paso 2: Continuidad en \( x = 2 \)
Para la continuidad en \( x = 2 \):
\[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) \]
- Desde la izquierda (\( 1 < x < 2 \)):
\[ \lim_{x \to 2^-} (ax - b) = a \cdot 2 - b = 2a - b \]
- Desde la derecha (\( x \geq 2 \)):
\[ \lim_{x \to 2^+} (4 - x) = 4 - 2 = 2 \]
Igualamos estos límites para garantizar la continuidad:
\[ 2a - b = 2 \] \(\quad\) (Ecuación 2)
### Paso 3: Resolver para \( a \) y \( b \)
Ahora, resolvemos las Ecuaciones 1 y 2 simultáneamente.
De la Ecuación 1 (\( a = \sin(1) + b \)):
\[ 2(\sin(1) + b) - b = 2 \]
\[ 2\sin(1) + 2b - b = 2 \]
