Respuesta :
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Claro, vamos a analizar cada problema y resolverlos paso a paso.
### Problema 1: Área del triángulo
Dado el área de un triángulo, necesitamos encontrar el mayor cateto si \( x > 0 \).
1. Área del triángulo: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura} \]
Vamos a asumir que estamos trabajando con un triángulo rectángulo y uno de los catetos es la base y el otro la altura. Según los valores dados, tenemos:
- \( \text{Base} = x - 2 \)
- \( \text{Altura} = x + 1 \)
Dado que \( x > 0 \), tenemos que:
\[ x - 2 < x + 1 \]
Por lo tanto, el mayor cateto es \( x + 1 \).
### Problema 2: Factorización de polinomio
Factorizar el polinomio \( Q(a, b) = a^5b + 2a^4b^2 + a^3b^3 \):
Primero, observamos que todos los términos tienen un factor común \( a^3b \):
\[ Q(a, b) = a^3b (a^2 + 2ab + b^2) \]
Ahora factoricemos el trinomio \( a^2 + 2ab + b^2 \):
\[ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \]
Entonces la factorización completa es:
\[ Q(a, b) = a^3b (a + b)^2 \]
Un factor primo de \( Q(a, b) \) es \( a + b \).
### Problema 3: Factorización de \( R(a, b) \)
Factorizar la expresión \( R(a, b) = 12(a - b)^2 + 7(a - b) - 12 \):
Definimos \( u = (a - b) \), entonces la expresión se convierte en:
\[ R(u) = 12u^2 + 7u - 12 \]
Para factorizar este trinomio, buscamos dos números cuyo producto sea \( 12 \cdot (-12) = -144 \) y cuya suma sea \( 7 \). Estos números son \( 16 \) y \( -9 \).
Entonces, podemos escribir:
\[ 12u^2 + 7u - 12 = 12u^2 + 16u - 9u - 12 \]
Agrupamos y factorizamos por partes:
\[ 12u(u + \frac{4}{3}) - 3(u + 4) \]
Multiplicamos por \( \frac{3}{3} \) el primer término dentro del paréntesis para combinarlo con el segundo término:
\[ = 3(4u(u + \frac{4}{3}) - (u + 4)) \]
\[ = 3((4u - 1)(u + 4)) \]
Finalmente:
\[ R(a, b) = 3(4(a - b) - 1)(a - b + 4) \]
El número de factores primos en \( R(a, b) \) es \( 3 \).
### Problema 4: Suma de factores primos
Analizar la suma de los factores primos de la siguiente expresión \( P(m, n) = (3m + n)^2 - (3n - m)^2 \):
Utilizando la diferencia de cuadrados:
\[ P(m, n) = [(3m + n) + (3n - m)][(3m + n) - (3n - m)] \]
Simplificamos cada término:
\[ P(m, n) = [(3m + n) + (3n - m)][(3m + n) - (3n - m)] \]
\[ = [(3m + 3n - m)][(3m + n - 3n + m)] \]
\[ = (2m + 4n)(4m - 2n) \]
Los factores primos son \( 2m + 4n \) y \( 4m - 2n \).
Ahora, para la suma de los factores primos:
\[ \text{Suma} = 2m + 4n + 4m - 2n \]
\[ = 6m + 2n \]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
d. \( 6m + 3n \)
En resumen:
1. Mayor cateto: \( x + 1 \).
2. Un factor primo: \( a + b \).
3. Número de factores primos: \( 3 \).
4. Suma de los factores primos: \( 6m + 3n \).
Explicación paso a paso:
nose I se entiende lo intenté poner clarito