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La derivada de la función \(3\cos^3(4x)\) es un concepto matemático que nos permite determinar la tasa de cambio instantánea de la función en un punto dado. Para calcularla, primero debemos aplicar la regla de la cadena, que consiste en derivar la función compuesta por partes.
Primero, derivamos el coseno al cubo, que es una función compuesta. La derivada de \(\cos(u)\) es \(-\sin(u)\), por lo que la derivada de \(\cos^3(u)\) será \(-3\cos^2(u)\sin(u)\). En este caso, \(u = 4x\), por lo que la derivada parcial de \(\cos^3(4x)\) respecto a \(x\) es \(-3\cos^2(4x)\sin(4x)\).
Luego, derivamos el término exterior \(3\), que es simplemente una constante, por lo que su derivada es cero.
Finalmente, multiplicamos las derivadas parciales obtenidas en cada paso para obtener la derivada total de la función \(3\cos^3(4x)\):
\[ \frac{d}{dx} (3\cos^3(4x)) = 0 \cdot \cos^3(4x) + 3 \cdot (-3\cos^2(4x)\sin(4x)) \]
\[ = -9\cos^2(4x)\sin(4x) \]
Por lo tanto, la derivada de la función \(3\cos^3(4x)\) es \(-9\cos^2(4x)\sin(4x)\).