Explicación paso a paso:
La expresión es:
[tex] \sqrt[3]{ ab² \sqrt[4]{ b⁵ \sqrt{a³b⁶} } } [/tex]
Comenzando desde la raíz del interior, podemos aplicar la siguiente propiedad de los radicales:
$\sqrt[n]{ xy } = \sqrt[n]{ x } \cdot \sqrt[n]{ y }$
Entonces:
[tex] \sqrt[3]{ ab² \sqrt[4]{ b⁵ \textcolor{red}{\sqrt{a³} \cdot \sqrt{b⁶}} } } [/tex]
Se aplica otra propiedad de los radicales:
$\sqrt[m]{x^{n}} = x^\frac{n}{m}$
Entonces:
[tex] \sqrt[3]{ ab² \sqrt[4]{ b⁵ a^\frac{3}{2} \cdot b^\frac{6}{2} } } [/tex]
[tex] \sqrt[3]{ ab² \sqrt[4]{ b⁵ a^\frac{3}{2} \cdot b³ } } [/tex]
Se aplica la propiedad de los exponentes:
$ x^{m} \cdot x^{n} = x^{m+n}$
Entonces:
[tex] \sqrt[3]{ ab² \sqrt[4]{ b^{5+3} a^\frac{3}{2} } } [/tex]
[tex] \sqrt[3]{ ab² \sqrt[4]{ b^{8} a^\frac{3}{2} } } [/tex]
Se vuelve a aplicar la propiedad siguiente:
$\sqrt[n]{ xy } = \sqrt[n]{ x } \cdot \sqrt[n]{ y }$
Entonces:
[tex] \sqrt[3]{ ab² \sqrt[4]{ b^{8}} \cdot \sqrt[4]{a^\frac{3}{2} } } [/tex]
Volviendo a aplicar la propiedad siguiente:
$\sqrt[m]{x^{n}} = x^\frac{n}{m}$
Entonces:
[tex] \sqrt[3]{ ab² (b^{8})^\frac{1}{4} \cdot (a^\frac{3}{2})^\frac{1}{4} } [/tex]
Aplicando la siguiente propiedad de los exponentes:
$(x^{m})^{n} = x^{m \cdot n}$
Entonces:
[tex] \sqrt[3]{ ab² b^{8(\frac{1}{4})} \cdot a^{(\frac{3}{2})(\frac{1}{4})} } [/tex]
[tex] \sqrt[3]{ ab² b^{\frac{8}{4}} \cdot a^{\frac{3}{8}} } [/tex]
[tex] \sqrt[3]{ ab² b^{2} \cdot a^{\frac{3}{8}} } [/tex]
Se aplica la propiedad de los exponentes:
$ x^{m} \cdot x^{n} = x^{m+n}$
Entonces:
[tex] \sqrt[3]{ a^{1+\frac{3}{8}} b^{2+2} } [/tex]
[tex] \sqrt[3]{ a^{\frac{8}{8}+\frac{3}{8}} b^{4} } [/tex]
[tex] \sqrt[3]{ a^{\frac{11}{8}} b^{4} } [/tex]
Se aplica la siguiente propiedad de los radicales:
$\sqrt[n]{ xy } = \sqrt[n]{ x } \cdot \sqrt[n]{ y }$
Entonces:
[tex] \sqrt[3]{ a^{\frac{11}{8}}} \cdot \sqrt[3]{b^{4} } [/tex]
Se aplica la siguiente propiedad de los radicales:
$\sqrt[m]{x^{n}} = x^\frac{n}{m}$
Entonces:
[tex] (a^{\frac{11}{8}})^\frac{1}{3} \cdot (b^{4})^\frac{1}{3} [/tex]
Aplicando la siguiente propiedad de los exponentes:
$(x^{m})^{n} = x^{m \cdot n}$
[tex] a^{(\frac{11}{8})(\frac{1}{3})} \cdot b^{(4)(\frac{1}{3})} [/tex]
[tex] a^{\frac{11}{24}} \cdot b^{\frac{4}{3}} [/tex]
Finalmente, este es el resultado.
