Respuesta :
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Para encontrar la mínima longitud del trayecto descrito por el punto G, primero consideremos la rotación y traslación de la lámina:
1. **Rotación**: La lámina se rota 90° en sentido horario con respecto al punto N. Esto significa que el triángulo equilátero original se convierte en un triángulo isósceles con un ángulo de 90° en el vértice N.
2. **Traslación**: Luego, la lámina se traslada de manera que el baricentro G de la lámina coincida con N. El baricentro G es el punto de intersección de las medianas del triángulo.
Para encontrar la longitud mínima del trayecto descrito por el punto G, debemos considerar la distancia recorrida durante la rotación y la traslación.
- **Rotación**: El ángulo recorrido durante la rotación es de 90°. La longitud de arco correspondiente a este ángulo es:
[tex]$ L_{\text{rotacion}} = \frac{90}{360} \cdot 2\pi r = \frac{\pi}{2} \cdot 6 = 3\pi \, \text{cm} $[/tex]
- **Traslación**: El baricentro G se encuentra a una distancia de 4 cm desde el punto N. Por lo tanto, la longitud de arco correspondiente a esta traslación es:
[tex]$ L_{\text{traslacion}} = 4 \, \text{cm} $[/tex]
La longitud total del trayecto descrito por el punto G es la suma de estas dos longitudes:
[tex]L_{\text{total}} = L_{\text{rotacion}}+L_{\text{traslacion}} = 3\pi + 4 \approx 13.42 \, \text{cm}[/tex]
Por lo tanto, la mínima longitud del trayecto descrito por el punto G es aproximadamente 13.42 cm.