Respuesta :
Respuesta:
el polígono regular cuyo número de diagonales excede en 7 su número de ángulos internos es el heptágono (polígono de 7 lados).
Explicación paso a paso:
Para determinar el polígono regular cuyo número de diagonales excede en 7 su número de ángulos internos, podemos utilizar las fórmulas correspondientes.
Primero, recordemos las fórmulas relevantes:
El número de ángulos internos de un polígono regular es igual a su número de lados,
n.
El número de diagonales de un polígono regular de
n lados se calcula con la fórmula:
=
(
−
3
)
2
D=
2
n(n−3)
Nos dicen que el número de diagonales excede en 7 su número de ángulos internos. Esto se puede expresar como:
=
+
7
D=n+7
Sustituyendo la fórmula de las diagonales en esta ecuación, obtenemos:
(
−
3
)
2
=
+
7
2
n(n−3)
=n+7
Multiplicamos ambos lados por 2 para eliminar el denominador:
(
−
3
)
=
2
+
14
n(n−3)=2n+14
Distribuimos y reordenamos los términos para formar una ecuación cuadrática:
2
−
3
=
2
+
14
n
2
−3n=2n+14
2
−
5
−
14
=
0
n
2
−5n−14=0
Resolvemos esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas
2
+
+
=
0
ax
2
+bx+c=0:
=
−
±
2
−
4
2
n=
2a
−b±
b
2
−4ac
En este caso,
=
1
a=1,
=
−
5
b=−5 y
=
−
14
c=−14. Sustituimos estos valores en la fórmula:
=
−
(
−
5
)
±
(
−
5
)
2
−
4
(
1
)
(
−
14
)
2
(
1
)
n=
2(1)
−(−5)±
(−5)
2
−4(1)(−14)
=
5
±
25
+
56
2
n=
2
5±
25+56
=
5
±
81
2
n=
2
5±
81
=
5
±
9
2
n=
2
5±9
Esto nos da dos posibles soluciones:
=
5
+
9
2
=
14
2
=
7
n=
2
5+9
=
2
14
=7
=
5
−
9
2
=
−
4
2
=
−
2
n=
2
5−9
=
2
−4
=−2
Dado que
n representa el número de lados de un polígono, debe ser un número positivo. Por lo tanto,
=
7
n=7 es la única solución válida.
Por lo tanto, el polígono regular cuyo número de diagonales excede en 7 su número de ángulos internos es el heptágono (polígono de 7 lados).