Respuesta:
Para resolver este problema sobre el paralelogramo \( JKLM \), necesitamos usar algunas propiedades de los paralelogramos y la información dada en la figura.
### 1. Encontrar \( x \):
Dado que \( JKLM \) es un paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales y los lados opuestos son paralelos y de igual longitud. Aquí sabemos que:
- \( JL \) y \( KM \) son diagonales que se bisecan mutuamente.
- El ángulo \( \angle JKL \) es de \( 74^\circ \).
- El ángulo \( \angle KJM \) es de \( 55^\circ \).
Podemos usar la propiedad de los ángulos de un triángulo:
\[ \angle JKL + \angle KJM + \angle JMK = 180^\circ \]
Sabemos que:
\[ 74^\circ + 55^\circ + \angle JMK = 180^\circ \]
\[ \angle JMK = 180^\circ - 129^\circ = 51^\circ \]
Ahora, en el triángulo \( JMK \), tenemos:
\[ JK = 4x \]
\[ MK = 12 \]
Podemos usar la ley de senos para resolver \( x \):
\[ \frac{JK}{\sin(51^\circ)} = \frac{KM}{\sin(74^\circ)} \]
\[ \frac{4x}{\sin(51^\circ)} = \frac{12}{\sin(74^\circ)} \]
Resolviendo para \( x \):
\[ 4x = 12 \cdot \frac{\sin(51^\circ)}{\sin(74^\circ)} \]
\[ x = 3 \cdot \frac{\sin(51^\circ)}{\sin(74^\circ)} \]
Usamos los valores de las funciones trigonométricas:
\[ \sin(51^\circ) \approx 0.7771 \]
\[ \sin(74^\circ) \approx 0.9613 \]
Entonces:
\[ x = 3 \cdot \frac{0.7771}{0.9613} \]
\[ x \approx 3 \cdot 0.8085 \]
\[ x \approx 2.43 \]
### 2. Determinar \( \angle M \):
En un paralelogramo, los ángulos adyacentes son suplementarios:
\[ \angle M = 180^\circ - \angle K = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ \]
### 3. Determinar \( \angle MLJ \):
Los ángulos opuestos en un paralelogramo son iguales:
\[ \angle MLJ = \angle KJM = 55^\circ \]
Resumiendo, los valores son:
- \( x \approx 2.43 \)
- \( \angle M = 106^\circ \)
- \( \angle MLJ = 55^\circ \)
