Respuesta :
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Para que la ecuación cuadrática
2
−
+
80
=
0
x
2
−bx+80=0 tenga dos soluciones pares distintas, primero analicemos la estructura de las soluciones.
La ecuación cuadrática tiene dos soluciones si su discriminaste es mayor que cero. La fórmula general para las soluciones de una ecuación cuadrática
2
+
+
=
0
ax
2
+bx+c=0 es:
=
−
±
2
−
4
2
x=
2a
−b±
b
2
−4ac
Aquí, los coeficientes son
=
1
a=1,
=
−
b=−b, y
=
80
c=80. El discriminante (
Δ
Δ) es:
Δ
=
2
−
4
=
(
−
)
2
−
4
⋅
1
⋅
80
Δ=b
2
−4ac=(−b)
2
−4⋅1⋅80
Δ
=
2
−
320
Δ=b
2
−320
Para que haya dos soluciones distintas, el discriminante debe ser positivo:
2
−
320
>
0
b
2
−320>0
2
>
320
b
2
>320
>
320
o
<
−
320
b>
320
o b<−
320
Calculando
320
320
:
320
≈
17.89
320
≈17.89
Por lo tanto, para que haya dos soluciones reales distintas:
>
17.89
o
<
−
17.89
b>17.89 o b<−17.89
Ahora, para que las soluciones sean pares, estas deben ser números enteros. Si la ecuación tiene soluciones pares distintas, las soluciones deben cumplir con la condición de ser enteros. Las soluciones de la ecuación cuadrática se pueden expresar como:
1
=
+
2
−
320
2
x
1
=
2
b+
b
2
−320
2
=
−
2
−
320
2
x
2
=
2
b−
b
2
−320
Para que ambas soluciones sean pares, la expresión
2
−
320
b
2
−320
debe ser un número entero que haga que
±
entero
2
2
b±entero
resulte en números pares.
En resumen:
b debe cumplir
>
17.89
b>17.89 o
<
−
17.89
b<−17.89.
Además,
2
−
320
b
2
−320 debe ser un cuadrado perfecto para que las soluciones sean enteras.
Un ejemplo de valores para
b que cumplen ambas condiciones es
=
20
b=20, ya que:
2
0
2
−
320
=
400
−
320
=
80
20
2
−320
=
400−320
=
80
Verificando para
=
20
b=20:
Δ
=
2
0
2
−
320
=
80
(no es un cuadrado perfecto)
Δ=20
2
−320=80 (no es un cuadrado perfecto)
Entonces,
b debe ser tal que
2
−
320
b
2
−320 sea un cuadrado perfecto.
Ejemplo:
Para
=
40
b=40:
Δ
=
4
0
2
−
320
=
1600
−
320
=
1280
Δ=40
2
−320=1600−320=1280
En resumen, se necesitan valores para
b tales que
2
−
320
b
2
−320 sea un cuadrado perfecto.