Al realizar las operaciones con vectores se obtiene:
a) El vector unitario con la misma dirección y sentido que el vector g es:
(7i/√53 - 2j/√53)
b) El ángulo que forman los vectores q y m es:
47.5°
c) El resultado de la operación m ∙ (2g + 3n) = es: 42
d) Se demuestra que g es combinación lineal de m y n.
Resolviendo
a) Halla un vector unitario con la misma dirección y sentido que el vector g.
El vector unitario se obtiene:
u = a/|a| = (a i + a j)/|a|
El módulo de un vector es: |a| = √(x² + y²)
Sustituir;
a = g = (7, -2)
|g| = √[7² + (-2)²]
|g| = √53
Ug = (7i/√53 - 2j/√53)
b) Calcule el ángulo que forman los vectores g y m.
Aplicar formula para hallar el ángulo entre dos vectores;
Cos(α) = [(g · m)/(|g| · |m|)]
Despejar α;
α = Cos⁻¹[(g · m)/(|g| · |m|)]
|m| = √[2² + (-4)²]
|m| = 2√5
sustituir;
α = Cos⁻¹[(7)(2)+(-2)(-4)/(√53 · 2√5)]
α = 47.5°
c) Calcule el resultado de la siguiente operación:
m ∙ (2g + 3n)
Sustituir;
m ∙ (2g + 3n) = (2, -4) ∙ [2(7, -2) + 3(1, 2)]
m ∙ (2g + 3n) = (2, 4) ∙ [(14, -4) + (3, 6)]
m ∙ (2g + 3n) = (2, 4) ∙ (17, 2)
m ∙ (2g + 3n) = 34+8
m ∙ (2g + 3n) = 42
d) Demuestra que g puede expresarse como combinación lineal de m y n.
Si g es combinación lineal de m y n si se puede expresar:
g = a · m + b · n a, b ∈ R
sustituir;
(7, -2) = a · (2, -4) + b · (1, 2)
Igualar términos semejantes;
7 = 2a + b ⇒ b = 7 - 2a
-2 = - 4a + 2b ⇒ - 2 = -4a + 2(7 -2a)
⇒ -2 = -4a + 14 - 4a
⇒ 8a = 16
⇒ a = 16/8
⇒ a = 2
⇒ b = 7 - 2(2)
⇒ b = 3
Por tanto, g es combinación lineal de m y n.
