contestada

Encuentra los valores de las constantes m y b en la ecuación de la recta LaTeX: y=mx+b si la recta pasa por los puntos P(–2, 6) y Q(3, –4).

Respuesta :

arkyta

Para la recta que pasa por los puntos o pares ordenados P(-2,6) y Q(3,-4) el valor de la pendiente es m= -2 y la intersección con el eje Y al que se lo denomina b= 2

Siendo la ecuación de la recta que pasa estos puntos o pares ordenados expresada en la forma explícita que responde a la forma y = mx + b:

[tex]\large\boxed {\bold { y =-2x+2 }}[/tex]

Para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados debemos primero hallar la pendiente

Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas:

[tex]\bold { P\ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ Q \ (x_{2},y_{2} )}[/tex]

Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta

Lo que resulta en

[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]

Determinamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(-2,6) y Q(3,-4)

[tex]\bold { P \ (-2,6) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ Q \ ( 3,-4) \ ( x_{2},y_{2}) }[/tex]

Hallamos la pendiente

[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]

[tex]\large\textsf{Reemplazamos }[/tex]

[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ -4 - (6) }{3 - (-2) } }}[/tex]

[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ -4-6 }{3+2 } }}[/tex]

[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ -10 }{5 } }}[/tex]

[tex]\boxed{\bold {m = -\frac{ 10 }{5 } }}[/tex]

[tex]\textsf{Dividiendo }[/tex]

[tex]\large\boxed{\bold {m = -2 }}[/tex]

La pendiente m es igual a -2

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada

Cuya forma está dada por:

[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]

Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m = -2 es la pendiente. Como conocemos el punto P (-2,6) tomaremos x1 = -2 e y1 = 6

Por tanto:

[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold {m=-2 } \\\large\textsf{y un punto dado } \bold {P \ (-2,6 )}[/tex]

[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y - (6) = -2 \cdot (x- (-2)) }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y-6 =-2 \cdot (x+2) }}[/tex]

Reescribimos la ecuación en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen

También llamada forma principal o explícita

Que responde a la forma:

[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

Resolvemos para y

[tex]\boxed {\bold { y-6 =-2 \cdot (x+2) }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y-6= -2x-4 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y =-2x -4+6 }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { y =-2x +2 }}[/tex]

Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma explícita

Donde el coeficiente m que acompaña a la x es la pendiente, y el término independiente b la intersección en Y

Siendo para esta recta:

[tex]\large\boxed {\bold { m=-2 }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { b=2 }}[/tex]

Aunque el enunciado no lo pida

Reescribimos la ecuación en la forma general u ordinaria de la recta

También llamada forma implícita

Que responde a la forma:

[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y =-2x+2 }}[/tex]

[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y+2x-2= 0}}[/tex]

[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { 2x +y -2= 0 }}[/tex]

Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma general u ordinaria

Se agrega gráfico como archivo adjunto

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