Respuesta :
Para resolver este problema, vamos a utilizar las dimensiones de la cancha y el área total del terreno para encontrar el valor de \(x\) y luego calcular el área de la zona verde.
1. **Área total del terreno:**
Sabemos que el área total del terreno es \(14x^2 + 10x - 20\) metros cuadrados.
2. **Dimensiones de la cancha:**
La longitud (largo) de la cancha es \(2x + 3\) metros.
La anchura (ancho) de la cancha es \(3x + 8\) metros.
3. **Área de la cancha:**
El área de la cancha se calcula multiplicando la longitud por el ancho:
\[ \text{Área de la cancha} = (2x + 3)(3x + 8) \]
4. **Igualar el área de la cancha con el área total del terreno:**
Igualamos el área de la cancha al área total del terreno y resolvemos para \(x\):
\[ (2x + 3)(3x + 8) = 14x^2 + 10x - 20 \]
Expandimos el lado izquierdo:
\[ (2x + 3)(3x + 8) = 6x^2 + 16x + 9x + 24 = 6x^2 + 25x + 24 \]
Ahora igualamos:
\[ 6x^2 + 25x + 24 = 14x^2 + 10x - 20 \]
Llevamos todos los términos a un lado de la ecuación:
\[ 0 = 14x^2 + 10x - 20 - 6x^2 - 25x - 24 \]
\[ 0 = 8x^2 - 15x - 44 \]
5. **Resolver la ecuación cuadrática:**
Utilizamos la fórmula cuadrática \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
En este caso, \(a = 8\), \(b = -15\), \(c = -44\):
\[ x = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-44)}}{2 \cdot 8} \]
\[ x = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 1408}}{16} \]
\[ x = \frac{15 \pm \sqrt{1633}}{16} \]
6. **Calcular el área de la zona verde:**
Una vez que tengamos el valor de \(x\), podemos calcular el área de la zona verde. El área de la zona verde es el área total del terreno menos el área de la cancha:
\[ \text{Área de la zona verde} = 14x^2 + 10x - 20 - (6x^2 + 25x + 24) \]
\[ \text{Área de la zona verde} = 8x^2 - 15x - 44 \]
Una vez que resolvamos la ecuación cuadrática y encontremos el valor de \(x\), podremos calcular el área de la zona verde sustituyendo este valor en la expresión \(8x^2 - 15x - 44\).