Respuesta :
Respuesta:
La fórmula para calcular el volumen de una pirámide recta se puede justificar mediante el concepto de proporcionalidad entre volúmenes de sólidos semejantes.
1. **Sólidos semejantes**: Dos sólidos son semejantes si tienen las mismas formas pero tamaños diferentes. En una pirámide recta, todas las caras laterales son triángulos congruentes, y la altura es la distancia perpendicular desde la base hasta el vértice de la pirámide.
2. **Proporcionalidad de volúmenes**: Si dos sólidos son semejantes, entonces el volumen del sólido más grande es igual a una constante multiplicada por el volumen del sólido más pequeño. Esta constante es el cubo de la razón de semejanza entre las longitudes lineales correspondientes de los sólidos.
3. **Aplicación a la pirámide recta**: Supongamos que tenemos una pirámide recta y una pirámide más grande, ambas semejantes. La relación entre sus alturas es \( h_1 : h_2 \), y la relación entre sus áreas de base es \( A_1 : A_2 \).
4. **Fórmula de volumen de la pirámide**: Sabemos que el volumen de una pirámide está dado por \( V = \frac{1}{3} \times \text{área de la base} \times \text{altura} \). Si consideramos dos pirámides semejantes, podemos escribir:
\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} \times A_1 \times h_1}{\frac{1}{3} \times A_2 \times h_2} \]
Simplificando, obtenemos:
\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{A_1 \times h_1}{A_2 \times h_2} \]
Como las pirámides son semejantes, sabemos que \( \frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2 \). Entonces,
\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\left(\frac{A_1}{A_2}\right) \times h_1}{h_2} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^3 \]
Esta relación nos dice que el volumen de la pirámide más grande es igual al volumen de la pirámide más pequeña multiplicado por la razón de semejanza al cubo.
5. **Justificación de la fórmula**: La fórmula para calcular el volumen de una pirámide recta se deriva entonces de esta proporcionalidad de volúmenes, utilizando la relación entre la altura de la pirámide y la altura de la pirámide más grande.