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(Mucho Texto)
Explicación paso a paso:
a) Para determinar la función de velocidad, debemos encontrar la función de aceleración y luego integrarla. Dado que la aceleración está dada por F"(t) = -2t + 7, podemos integrarla para obtener la función de velocidad.
Integrando la aceleración, obtenemos la función de velocidad:
F'(t) = -t^2 + 7t + C
Dado que sabemos que al instante t-1, la velocidad de la partícula es de 20, podemos utilizar esta información para encontrar el valor de C. Sustituyendo t = -1 y F'(-1) = 20 en la función de velocidad, obtenemos:
20 = -(-1)^2 + 7(-1) + C
20 = 1 - 7 + C
20 = -6 + C
C = 26
Por lo tanto, la función de velocidad es:
F'(t) = -t^2 + 7t + 26
b) Para determinar la función de posición, debemos integrar la función de velocidad. Utilizando la función de velocidad obtenida en el inciso anterior, podemos integrarla para obtener la función de posición.
Integrando la velocidad, obtenemos la función de posición:
F(t) = -1/3t^3 + 7/2t^2 + 26t + D
Dado que sabemos que en el instante t-3, la posición de la partícula es de 300, podemos utilizar esta información para encontrar el valor de D. Sustituyendo t = -3 y F(-3) = 300 en la función de posición, obtenemos:
300 = -1/3(-3)^3 + 7/2(-3)^2 + 26(-3) + D
300 = -1/3(-27) + 7/2(9) - 78 + D
300 = 9/3 + 63/2 - 78 + D
300 = 3 + 31.5 - 78 + D
300 = -43.5 + D
D = 343.5
Por lo tanto, la función de posición es:
F(t) = -1/3t^3 + 7/2t^2 + 26t + 343.5
c) Para determinar cuánto ha recorrido la partícula en el intervalo [6,12], podemos calcular la integral definida de la función de velocidad en ese intervalo.
La integral definida de la función de velocidad en el intervalo [6,12] nos dará el desplazamiento de la partícula en ese intervalo.
∫[6,12] (-t^2 + 7t + 26) dt = -372
Por lo tanto, la partícula ha recorrido -372 unidades en el intervalo [6,12].
d) Para determinar los puntos máximos y mínimos en la función de posición, debemos encontrar los puntos críticos de la función. Estos puntos se encuentran donde la derivada de la función de posición es igual a cero.
La derivada de la función de posición es:
F'(t) = -t^2 + 7t + 26
Igualando la derivada a cero y resolviendo la ecuación, encontramos los puntos críticos:
-t^2 + 7t + 26 = 0
Resolviendo esta ecuación, encontramos dos valores para t: t = -4 y t = 7.
Por lo tanto, los puntos máximos y mínimos en la función de posición son t = -4 y t = 7.
e) Para determinar la razón de cambio promedio de la función de posición en los intervalos de tiempo [5,6] y [8,9], podemos calcular la diferencia entre la posición final y la posición inicial, y dividirlo entre la diferencia de tiempo.
En el intervalo [5,6]:
Posición inicial: F(5) = -1/3(5)^3 + 7/2(5)^2 + 26(5) + 343.5
Posición final: F(6) = -1/3(6)^3 + 7/2(6)^2 + 26(6) + 343.5
Razón de cambio promedio = (F(6) - F(5)) / (6 - 5)
En el intervalo [8,9]:
Posición inicial: F(8) = -1/3(8)^3 + 7/
Respuesta:
la respuesta es 1.17 si seguimos todos tus pasos esa sería la respuesta final saltandomnos todos los procedimientos