Respuesta :
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¡Claro! Analicemos la función cuadrática \(y = x^2 - 5x + 6\):
a) **Posición de las raíces:**
Para encontrar las raíces, resolvemos la ecuación \(y = 0\). Calculamos el discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\):
\(\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\)
Como \(\Delta > 0\), la función tiene dos raíces reales distintas. Para hallarlas, usamos la fórmula cuadrática:
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) y \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\)
Sustituyendo los valores:
\(x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3\) y \(x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2\)
Las raíces son \(x_1 = 3\) y \(x_2 = 2\).
b) **Máximo o mínimo:**
La concavidad de la parábola depende del coeficiente \(a\):
- Si \(a > 0\), la parábola es cóncava hacia arriba y tiene un mínimo en el vértice.
- Si \(a < 0\), la parábola es cóncava hacia abajo y tiene un máximo en el vértice.
En nuestra función, \(a = 1\), por lo que tiene un mínimo.
c) **Intervalos de monotonía:**
Calculamos la derivada de la función:
\(y' = 2x - 5\)
Para encontrar los intervalos de monotonía, evaluamos \(y'\) en puntos críticos (donde \(y' = 0\)):
\(2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2} = 2.5\)
Ahora probamos con un valor menor y uno mayor que \(x = 2.5\):
- Si \(x < 2.5\), \(y'\) es negativa, por lo que la función es decreciente.
- Si \(x > 2.5\), \(y'\) es positiva, por lo que la función es creciente.
Los intervalos de monotonía son \((-\infty, 2.5)\) y \((2.5, +\infty)\).
d) **Concavidad:**
Como \(a = 1 > 0\), la concavidad es positiva. La parábola abre hacia arriba.
En resumen:
- Raíces: \(x_1 = 3\) y \(x_2 = 2\)
- Mínimo: Sí
- Intervalos de monotonía: \((-\infty, 2.5)\) y \((2.5, +\infty)\)
- Concavidad: Positiva (parábola cóncava hacia arriba).